Sejarah nilai 𝜋(Pi) dan contoh lkpd soal dari sejarahnya

NILAI π(Pi) BY ARCHIMEDES

SEJARAH NILAI π(Pi)

        Archimedes (287 SM – 212 SM) adalah ahli matematika dan penemu dari Yunani yang terkenal.Archimedes adalah seorang astronom, matematikawan, filsuf, fisikawan, dan insinyur berbangsa Yunani. Archimedes menemukan nilai π ketika terdapat permasalahan saat ingin mengetahui panjang lingkaran luar atau yang kita ketahui dengan keliling lingkaran yang tidak diketahui panjangnya berapa. Ingat bahwa K atau keliling lingkaran berdiameter 1. Dengan menggunakan lambang bilangan yang diperkenalkan oleh William Jones, bilangan K adalah bilangan 𝜋 yang nilainya mendekati 3,14. Archimedes pun penasaran ingin mengetahui berapa nilai 𝜋 yang merupakan perbandingan keliling lingkaran dan diameternya. Dengan menggunakan segi-96 beraturan “yang memuat lingkaran”, Archimedes memperoleh taksiran 𝜋 < 22/7 .

Langkah-langkah yang dilakukan Archimedes untuk memperoleh taksiran nilai 𝜋 adalah sebagai berikut :

v  Dimulai dengan segi-enam beraturan yang memuat lingkaran (berjari-jari r sembarang), Acrhimedes mendapatkan bahwa π < 2√3 ≈ 530/153 (hampiran nilai √3 ≈ 265/153 dapat diperoleh dengan Algoritma Euclid, yang sudah dikenal oleh matematikawan Yunani Kuno saat itu).

v Selanjutnya, dengan membagi dua sudut pada puncak segitiga dalam segi-enam beraturan, Archimedes menaksir keliling lingkaran dengan keliling segi-12 beraturan yang memuat lingkaran. Dengan menggunakan kesebangunan dua segitiga dan perhitungan perbandingan panjang sisi-sisi segitiga yang terlibat dengan teliti, Archimedes mendapatkan taksiran yang lebih halus, yaitu 𝜋 < 12 × 153/571 = 1.836/571.

v  Ia kemudian membagi dua lagi sudut pada puncak segi-12 beraturan untuk memperoleh segi-24 beraturan dan, dengan perhitungan yang lebih rumit, ia pun mendapatkan taksiran berikutnya, yaitu 𝜋 < 24 × 153/1.162,125. Perhatikan betapa Archimedes tidak ingin mengabaikan nilai 0,125 yang sama dengan 1/8 dalam perhitungannya, guna mendapatkan taksiran yang teliti untuk 𝜋.

v  Langkah yang serupa dilakukan lagi dan lagi oleh Archimedes, sehingga ia memperoleh taksiran untuk 𝜋 melalui segi-48 beraturan, yaitu 𝜋 < 48 × 153/2.334,25, dan akhirnya melalui segi-96 beraturan, 𝜋 < 96 × 153/4.673,5 = 22/7.

Algoritma pertama (sekitar 250 SM) yang tercatat untuk menghitung nilai π adalah melalui pendekatan geometri menggunakan poligon. Archimedes menghitung batas atas dan batas bawah π dengan menggambar poligon di luar dan di dalam sebuah lingkaran, dan secara perlahan melipat gandakan sisi-sisi poligon-poligon tersebut sampai 96-gon. Dengan menghitung keliling poligon-poligon tersebut Archimedes membuktikan bahwa 3,1408 < π < 3,1429.

            Archimedes masih melanjutkan menaksir nilai 𝜋 “dari sebelah kiri”, dengan menggunakan segi 96 beraturan “di dalam lingkaran”. Dalam hal ini, ia memperoleh taksiran 𝜋 > 223/71. Dengan hasil ini, Archimedes menyimpulkan bahwa 223/71 < 𝜋 < 22/7. Bila kita kemudian menganggap 𝜋 ≈ 22/7, maka kesalahan perhitungan dalam penaksiran ini takkan lebih daripada 22/7 – 223/71 ≈ 0,002. Archimedes menuliskan hitung-hitungan di atas dalam papernya yang berjudul “Pengukuran pada Lingkaran” [T.L. Heath (ed.) (1953), The Works of Archimedes].

            Karya Archimedes kemudian menginspirasi banyak matematikawan generasi berikutnya untuk menaksir nilai bilangan 𝜋 dengan ketelitian yang lebih tinggi.

v  Claudius Ptolemy (~85–165 M), astronom dan ahli Geografi dari Alexandria, berhasil memperoleh taksiran 𝜋 ≈ 377/120 ≈ 3,14166. Nilai taksiran ini di - perolehnya dengan menggunakan segi 360 beraturan dan taksiran √3 ≈ 1,73205.

v  Sejak awal abad ke-1, para matematikawan Tiongkok kuno telah menggunakan taksiran 𝜋 ≈ 3,1547.

v  Sekitar tahun 265, Liu Hui menggunakan segi 3072 beraturan dan mendapatkan taksiran 𝜋 ≈ 3,1416. Taksiran ini diperoleh Liu Hui dengan melanjutkan hitung-hitungan Archimedes dari segi 96 ke segi 192, segi 384, segi 768, segi 1536, dan akhirnya segi 3072 beraturan, tentunya dengan ketekunan 59 yang luar biasa.

v  Pada tahun 480-an, Zu Chongzi menggunakan segi 12288 beraturan dan memperoleh taksiran 𝜋 ≈ 355/113 ≈ 3,1415929. Dengan hasil ini, Zu Chongzhi telah menaksir nilai 𝜋 dengan tepat hingga 6 angka di belakang koma.

v  Di India, seorang astronom bernama Aryabhata menggunakan taksiran 𝜋 ≈ 3,1416 dalam suatu perhitungan yang ia abadikan dalam bukunya pada tahun 499 M.

v  Pada tahun 1430-an, Al-Khwarizmi atau yang dikenal Al-Khasi, yang berasal dari Persia, menghitung nilai bilangan 𝜋 dengan tepat hingga 15 angka di belakang koma. Hasil ini diperolehnya dengan sangat ulet, menggunakan segi 6×227 beraturan. Taksiran Al-Khasi tak tertandingi hingga akhir abad ke-16.

v  Matematikawan Belanda Ludoplh van Ceulen menghitung nilai 𝜋 dalam bentuk desimal dengan tepat hingga 34 angka di belakang koma.

v  Pada tahun 1630, Christoph Grienberger, seorang astronom dari Austria, berhasil menghitung nilai 𝜋 dengan tepat hingga 37 angka di belakang koma. Seperti halnya Archimedes, Zu Chongzhi, dan AlKhasi, Ceulen dan Grienberg menggunakan segi banyak beraturan untuk memperoleh taksiran tersebut.

v  Pada abad ke-17, tepatnya pada tahun 1660-an, Isaac Newton, seorang matematikawan dan fisikawan dari Inggris, menghitung nilai 𝜋 dengan tepat hingga 15 angka (termasuk angka 3 di depan koma), tetapi dengan menggunakan metode yang berbeda. Sebelumnya, Gottfried Wilhelm Leibniz, matematikawan dari Jerman, menemukan rumus deret fungsi arctan x = x − x3 /3 + x5 /5 − x7 /7 + x9 /9 − … Dengan mensubstitusikan nilai x = 1 ke dalam deret di atas dan fakta bahwa arctan 1 = 𝜋/4, Leibniz memperoleh deret bilangan 𝜋/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + 1/9 − 1/11 + … , yang juga telah diketahui oleh matematikawan India bernama Madhava pada abad ke-14. Menggunakan deret di atas, kita dapat menghitung (atau menaksir) nilai 𝜋, dengan ketelitian yang diinginkan. Semakin banyak suku deret yang dipakai untuk menaksir nilai 𝜋, semakin teliti taksiran yang diperoleh. Sayangnya, untuk x = 1, deret di atas konvergen dengan ‘sangat lambat.’ Untuk mendapatkan ketelitian hingga 4 angka di belakang koma, misalnya, kita harus menggunakan 5000 suku. Newton kemudian menggunakan rumus deret serupa tapi konvergen lebih cepat daripada deret Leibniz, yaitu π/24 = √3/32 +(1/3 ∙ 8 – 1/5 ∙ 32 – 1/7 ∙ 128 – 1/9 ∙ 512 − ⋯ ),

v  Pada tahun 1706, seorang matematikawan Inggris yang bernama John Machin berhasil menghitung nilai bilangan 𝜋 dengan tepat hingga 100 angka (termasuk angka 3 di depan koma). Machin mendapatkan hasil tersebut dengan menggunakan rumus 𝜋/4 = 4 ∙ arctan 1/5 − arctan 1/239 dan deret Leibniz untuk arctan x, dengan x = 1/5 dan x = 1/239, yang konvergen lebih cepat daripada deret untuk arctan 1, dengan menggunakan tiga suku saja, kita peroleh taksiran 𝜋 ≈ 16(1/5 – 1/375) – 4/239 ≈ 3,14

v  Pada tahun 1853, William Shanks menggunakan rumus Machin untuk menaksir nilai 𝜋 hingga 707 angka.

v  Namun, pada tahun 1945, Daniel F. Ferguson menemukan bahwa hasil Shanks ternyata hanya benar untuk 527 angka. Dengan menggunakan rumus 𝜋/4 = 3 ∙ arctan 1 4 + arctan 1 20 + arctan 1 1985

v  Ferguson berhasil menghitung nilai 𝜋 dengan tepat hingga 710 angka pada tahun berikutnya. Taksiran tersebut diperoleh Ferguson secara manual, dengan bantuan sebuah kalkulator mekanis.

Memasuki era komputer, perhitungan nilai bilangan 𝜋 berlanjut semakin seru.

v  Pada tahun 1949, nilai 𝜋 dapat dihitung dengan tepat hingga 2000 angka.

v  Seiring dengan perkembangan komputer, rekor ini diperbaiki menjadi 10.000 angka pada tahun 1958

v  Kemudian menjadi 100.000 angka pada tahun 1961, atas nama John Wrench dan Daniel Shanks, keduanya dari Amerika Serikat.

v  Pada tahun 1973, Jean Guilloud dan Martine Bouyer, dua matematikawan dari Perancis, berhasil menghitung nilai 𝜋 dengan tepat hingga 1 juta angka dengan menggunakan rumus 𝜋/4 = 12 ∙ arctan 1 18 + 8 ∙ arctan 1 57 − 5 ∙ arctan 1 239, dan tentunya dengan bantuan komputer yang lebih baik.

v  Pada tahun 1987, rekor perhitungan nilai 𝜋 telah mencapai 16 juta angka, dengan menggunakan rumus yang berbeda.

v  Pada tahun 2002, Yasumasa Kanada dan beberapa koleganya dari Universitas Tokyo, membukukan rekor dengan 1,2411 triliun angka. Rekor ini bertahan selama tujuh tahun.

v  Pada tahun 2010, Shigeru Kondo (insinyur dari Jepang) dan Alexander Yee (ahli komputer dari Amerika Serikat) berhasil menghitung nilai 𝜋 hingga 5 triliun angka, dan tiga tahun kemudian mereka mencetak rekor baru dengan 12,1 triliun angka.

𝜋 ≈3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640286208998628034825342117067082148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953092186117381932611793105118548074462379962749567351885752724891227938183011949129833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132000568127145263560827785771342757789609173637178721468440901224953430146549585371050792279689258923542019956112129021960864034418159813629774771309960518707211349999998372978049951059731732816096318595024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303598 2534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989380952572010654858632788659361533818279682303019520353018529689957736225994138912497217752834791315155748572424541506959508295331168617278558890750983817546374649393192550604009277016711390098488240128583616035637076601047101819429555961989467678374494482553797747268471040475346462080466842590694912933136770289891521047521620569660240580381501935112533824300355876402474964732639141992726042699227967823547816360093417216412199245863150302861829745557067498385054945885869269956909272107975093029553211653449872027559602364806654991198818347977535663698074265425278625518184175746728909777727938
    Konsep 𝜋 cukup sulit dijelaskan karena nilai 𝜋 yang merupakan bilangan irasional tanpa akhir yang jelas, dan tidak memiliki pola atau pengulangan pada angka desimalnya. Untuk perhitungan dasar nilai 𝜋 dalam desimal pada umumnya cukup dituliskan 3,14 atau 22/7 karena mendekati nilai 𝜋.

   Pada lingkaran, 𝜋 merupakan rasio keliling lingkaran dengan diameternya. Oleh karena itu apabila kita ingin memeriksa suatu objek berbentuk lingkaran sempurna atau tidak, maka kita dapat membagi keliling dengan diameternya. Sebuah lingkaran sempurna akan memiliki hasil pembagi yang mendekati nilai 𝜋. Kita juga dapat menggunakan nilai 𝜋 dengan jumlah desimal yang lebih banyak. Perhitungan dalam menggunakan nilai phi dalam lingkaran:

1)      Jika nilai jari-jari atau diameter lingkaran merupakan kelipatan 7 maka akan lebih mudah jika menggunakan π yang 22/7.

2)      Jika nilai jari-jari atau diameter lingkaran merupakan kelipatan 10 maka tentu akan lebih mudah jika menggunakan 3,14 sebagai nilai π.

  Pi banyak digunakan dalam perhitungan matematika seperti rumus-rumus trigonometri dan geometri, terutama yang menyangkut lingkaran, elips, dan bola. Nilai π juga banyak ditemukan pada rumus-rumus bidang ilmu lainnya seperti kosmologi, teori bilangan, statistika, fraktal, termodinamika,mekanika, dan elektromagnetisme.

Penggunaan nilai 𝜋 pada materi lingkaran :

1. Sebuah lingkaran yang berdiameter 22 cm dan mempunyai keliling 69 cm. Hitunglah 𝜋!

Penyelesaian :

d = 22 cm ; K = 69 cm
𝜋 = K : d = 69 cm : 22 cm = 3,13636363636

2. Sebuah lingkaran yang berjari-jari 5,75 cm dan mempunyai keliling 36 cm. Hitunglah 𝜋!

Penyelesaian :

r = 5,75 cm ; K = 36 cm

𝜋 = K : d = 36 cm : (2x5,75 cm) = 3,13043478261

Referensi :

Gunawan, H. (2015). Archimedes dan Taksiran bilangan phi . Bersains , 7.

http://www.amazine.co/26528/apa-itu-pi-sejarah-penemu-konsepnya

http://sahabatanakcerdas.blogspot.co.id/2012/01/sejarah-penemuan-nilai-phi.html 


CONTOH LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK(LKPD)
                                         
                                      LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK (LKPD)

                                              MATA PELAJARAN    : MATEMATIKA
                                              KELAS                          : VIII

                                              MATERI                        : LINGKARAN

                                              ALOKASI WAKTU      : 20 MENIT       

  

A. PETUNJUK BELAJAR

     1. Cermati informasi pendukung yang diberikan.

     2. Kerjakan semua soal secara berkelompok.

B. KOMPETENSI DASAR

     3.6       Mengidentifikasi unsur, keliling, dan luas dari lingkaran.

C. INDIKATOR

     3.6.1    Mengidentifikasi unsur-unsur dari lingkaran

     3.6.2    Menentukan keliling lingkaran

     3.6.3    Menentukan luas lingkaran

D. INFORMASI PENDUKUNG 

Archimedes (287 SM - 212 SM)  Archimedes adalah ahli matematika dan penemu dari Yunani yang terkenal. Awal mula penemuan nilai 𝜋 yaitu ketika Archimedes penasaran ingin mengetahui berapa nilai 𝜋 yang merupakan perbandingan keliling lingkaran dan diameternya. Archimedes menaksir nilai 𝜋 dengan menggunakan segi-96 beraturan “yang memuat lingkaran”. Dalam hal ini, ia memperoleh taksiran 223/71 < 𝜋 < 22/7 dan 3,1408 < π < 3,1429. Jika nilai jari-jari atau diameter lingkaran merupakan kelipatan 7 lebih mudah jika menggunakan π yang 22/7 dan jika nilai jari-jari atau diameter lingkaran kelipatan 10 akan lebih mudah jika menggunakan 3,14 sebagai nilai π. Rumus Luas lingkaran = πr2 Rumus Keliling lingkaran = πd atau 2πr E. TUGAS/AKTIVITAS 1. Sebuah lingkaran yang berdiameter 22 cm. Tentukan luas dan keliling lingkarannya! (Petunjuk :Lihat petunjuk pengunaan nilai π pada informasi pendukung dan ingat kembali rumus luas dan keliling lingkaran) Penyelesaian :